Đại số tuyến tính Ví dụ

${(3 - h)}^{2} + {(- 5 - k)}^{2} = 2 {(\sqrt{7})}^{2}$

Bước 1

Trừ ${(- 5 - k)}^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

${(3 - h)}^{2} = 2 {\sqrt{7}}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Bước 2

Viết lại ${\sqrt{7}}^{2}$ ở dạng $7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{7}$ ở dạng $7^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(- 5 - k)}^{2}$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{2}} - {(- 5 - k)}^{2}$

Bước 2.4.2

Viết lại biểu thức.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7^{1} - {(- 5 - k)}^{2}$

Bước 2.5

Tính số mũ.

${(3 - h)}^{2} = 2 \cdot 7 - {(- 5 - k)}^{2}$

Bước 3

Nhân $2$ với $7$ .

${(3 - h)}^{2} = 14 - {(- 5 - k)}^{2}$

Bước 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn $\pm \sqrt{14 - {(- 5 - k)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại ${(- 5 - k)}^{2}$ ở dạng $(- 5 - k) (- 5 - k)$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - ((- 5 - k) (- 5 - k))}$

Bước 5.2

Khai triển $(- 5 - k) (- 5 - k)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 (- 5 - k) - k (- 5 - k))}$

Bước 5.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k (- 5 - k))}$

Bước 5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (- 5 \cdot - 5 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Bước 5.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Nhân $- 5$ với $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 - 5 (- k) - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Bước 5.3.1.2

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k - k \cdot - 5 - k (- k))}$

Bước 5.3.1.3

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - k (- k))}$

Bước 5.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k \cdot k)}$

Bước 5.3.1.5

Nhân $k$ với $k$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.5.1

Di chuyển $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 (k \cdot k))}$

Bước 5.3.1.5.2

Nhân $k$ với $k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k - 1 \cdot - 1 k^{2})}$

Bước 5.3.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + 1 k^{2})}$

Bước 5.3.1.7

Nhân $k^{2}$ với $1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 5 k + 5 k + k^{2})}$

Bước 5.3.2

Cộng $5 k$ và $5 k$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - (25 + 10 k + k^{2})}$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 1 \cdot 25 - (10 k) - k^{2}}$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $- 1$ với $25$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - (10 k) - k^{2}}$

Bước 5.5.2

Nhân $10$ với $- 1$ .

$3 - h = \pm \sqrt{14 - 25 - 10 k - k^{2}}$

Bước 5.6

Trừ $25$ khỏi $14$ .

$3 - h = \pm \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Bước 6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$3 - h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Bước 6.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Bước 6.3

Chia mỗi số hạng trong $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ cho $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{h}{1} = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.3.2.2

Chia $h$ cho $1$ .

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1}$ .

$h = - 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.3.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ ở dạng $- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.3.3.1.3

Chia $- 3$ cho $- 1$ .

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Bước 6.4

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$3 - h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$

Bước 6.5

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$

Bước 6.6

Chia mỗi số hạng trong $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Chia mỗi số hạng trong $- h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} - 3$ cho $- 1$ .

$\frac{- h}{- 1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{h}{1} = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.6.2.2

Chia $h$ cho $1$ .

$h = \frac{- \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.3.1.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$h = \frac{\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}}{1} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.6.3.1.2

Chia $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ cho $1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.6.3.1.3

Chia $- 3$ cho $- 1$ .

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Bước 6.7

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = - \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

$h = \sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}} + 3$

Bước 7

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{- 11 - 10 k - k^{2}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$- 11 - 10 k - k^{2} \geq 0$

Bước 8

Giải tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$- 11 - 10 k - k^{2} = 0$

Bước 8.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 8.3

Thay các giá trị $a = - 1$ , $b = - 10$ , và $c = - 11$ vào công thức bậc hai và giải tìm $k$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 11)}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.4.1.2.2

Nhân $4$ với $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.4.1.3

Trừ $44$ khỏi $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.4.1.4

Viết lại $56$ ở dạng $2^{2} \cdot 14$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.4.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.4.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Bước 8.4.3

Rút gọn $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Bước 8.4.4

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Bước 8.4.5

Viết lại $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ ở dạng $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Bước 8.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.5.1.2.2

Nhân $4$ với $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.5.1.3

Trừ $44$ khỏi $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.5.1.4

Viết lại $56$ ở dạng $2^{2} \cdot 14$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.5.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.5.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.5.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Bước 8.5.3

Rút gọn $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Bước 8.5.4

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Bước 8.5.5

Viết lại $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ ở dạng $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Bước 8.5.6

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$k = - (5 + \sqrt{14})$

Bước 8.5.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$k = - 1 \cdot 5 - \sqrt{14}$

Bước 8.5.8

Nhân $- 1$ với $5$ .

$k = - 5 - \sqrt{14}$

Bước 8.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1.1

Nâng $- 10$ lên lũy thừa $2$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 1 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.6.1.2

Nhân $- 4 \cdot - 1 \cdot - 11$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1.2.1

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot - 11}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.6.1.2.2

Nhân $4$ với $- 11$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 44}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.6.1.3

Trừ $44$ khỏi $100$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{56}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.6.1.4

Viết lại $56$ ở dạng $2^{2} \cdot 14$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $56$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.6.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$k = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.6.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{2 \cdot - 1}$

Bước 8.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$k = \frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$

Bước 8.6.3

Rút gọn $\frac{10 \pm 2 \sqrt{14}}{- 2}$ .

$k = \frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$

Bước 8.6.4

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{5 \pm \sqrt{14}}{- 1}$ .

$k = - 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$

Bước 8.6.5

Viết lại $- 1 \cdot (5 \pm \sqrt{14})$ ở dạng $- (5 \pm \sqrt{14})$ .

$k = - (5 \pm \sqrt{14})$

Bước 8.6.6

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$k = - (5 - \sqrt{14})$

Bước 8.6.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$k = - 1 \cdot 5 + \sqrt{14}$

Bước 8.6.8

Nhân $- 1$ với $5$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Bước 8.6.9

Nhân $- - \sqrt{14}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.9.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$k = - 5 + 1 \sqrt{14}$

Bước 8.6.9.2

Nhân $\sqrt{14}$ với $1$ .

$k = - 5 + \sqrt{14}$

Bước 8.7

Hợp nhất các đáp án.

$k = - 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}$

Bước 8.8

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$k < - 5 - \sqrt{14}$

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$

$k > - 5 + \sqrt{14}$

Bước 8.9

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.9.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $k < - 5 - \sqrt{14}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.9.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $k < - 5 - \sqrt{14}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$k = - 11$

Bước 8.9.1.2

Thay thế $k$ bằng $- 11$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- 11 - 10 \cdot - 11 - {(- 11)}^{2} \geq 0$

Bước 8.9.1.3

Vế trái $- 22$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 8.9.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.9.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$k = - 5$

Bước 8.9.2.2

Thay thế $k$ bằng $- 5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- 11 - 10 \cdot - 5 - {(- 5)}^{2} \geq 0$

Bước 8.9.2.3

Vế trái $14$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 8.9.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $k > - 5 + \sqrt{14}$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.9.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $k > - 5 + \sqrt{14}$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$k = 0$

Bước 8.9.3.2

Thay thế $k$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- 11 - 10 \cdot 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Bước 8.9.3.3

Vế trái $- 11$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 8.9.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Sai

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Đúng

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Sai

$k < - 5 - \sqrt{14}$ Sai

$- 5 - \sqrt{14} < k < - 5 + \sqrt{14}$ Đúng

$k > - 5 + \sqrt{14}$ Sai

Bước 8.10

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}$

Bước 9

Tập xác định là tất cả các giá trị của $k$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- 5 - \sqrt{14}, - 5 + \sqrt{14}]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${k | - 5 - \sqrt{14} \leq k \leq - 5 + \sqrt{14}}$

Bước 10